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已知函数, (Ⅰ)若a>0,,求f(x)的最小值; (Ⅱ)若x∈[0,2π)时,...

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(Ⅰ)若a>0,manfen5.com 满分网,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若x∈[0,2π)时,f(x)的图象与x轴有四个不同的交点,求实数a的取值范围.
(I)利用二倍角公式将f(x)化为asin2x+(3-a)sinx-2a+6,通过换元转化为二次函数的最值问题,通过讨论对称轴与区间的位置关系,求出时f(x)的最小值; (II)将已知条件转化为y=at2+(3-a)t-2a+6在[-1,1]有两个不同的解,结合二次函数的图象,列出a满足的不等式,解不等式求出a的范围. 【解析】 (I)函数 =asin2x+(3-a)sinx-2a+6 令sinx=t,则有t∈[0,1], 所以y=at2+(3-a)t-2a+6,t∈[0,1], 对称轴t= 当0<a<3时,y=at2+(3-a)t-2a+6在[0,1]递增, 所以当t=0时,函数最小值为-2a+6; 当a≥3时,t=∈[0,1],,所以当t=函数有最小值 总之,函数的最小值为 当0<a<3时,最小值为-2a+6; 当a≥3时,最小值. (II)因为x∈[0,2π)时,f(x)的图象与x轴有四个不同的交点, 等价于y=at2+(3-a)t-2a+6在[-1,1]有两个不同的解, 所以, 解得.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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