Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．
（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．
（3）如果AB=1，一个点从F出发在正方体的表面上依次经过棱BB₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁D、DA上的点，又回到F，指出整个线路的最小值并说明理由．

Answer

对于（1）要证明EF∥平面CB1D1，只需证明EF平行于面CB1D1内的一条直线即可，
E、F为棱AD、AB的中点，易证EF∥BD，而BD∥B1D1，从而得证；
对于（2），要证平面CAA1C1⊥平面CB1D1．只需证明平面CB1D1内的一条直线与面CAA1C1垂直即可，
而容易证明B1D1⊥A1C1，B1D1⊥AA1，从而可以证明B1D1⊥平面CAA1C1从而得证；
对于（3），正方体表面上两点之间的最小距离问题，可以用侧面展开图解决，将正方体表面展开，
求EF两点之间的距离即可．
【解析】
（1）证明：连接BD．
在长方体AC1中，对角线BD∥B1D1．又∵E、F为棱AD、AB的中点，∴EF∥BD．∴EF∥B1D1．又B1D1⊥平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，∴EF∥平面CB1D1．
（2）∵在长方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1．
又∵在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥平面CAA1C1．
又∵B1D1平面CB1D1，∴平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
（3）最小值为
∴如图，将正方体六个面展开，从图中F到F，两点之间线段最短，
而且依次经过棱BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA上的中点，所求的最小值为