Question

已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为F（1，0），直线l经过点F，且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）因为椭圆的离心率为，所以e==，再根据右焦点为F（1，0），求出c的值，就可得到a的值，再根据a，b，c的关系，解出b值，则椭圆方程可知．
（II）当直线l斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，消去y，得到关于a的一元二次方程，求出x1+x2，x1x2，设出M点坐标，求出，的坐标，以及，要使得为常数λ，只需要=λ，化简，可求出λ的值，当直线l垂直于x轴时，同样求出λ的值，两个λ一致，所以在x轴上存在定点M，使得为常数．
【解析】
（I）由题意可知，c=1，又e==，解得a=
∴b2=a2-c2=1
∴椭圆的标准方程为
（II）若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k（x-1）
由，得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，
△=16k4-4（1+2k2）（2k2-2）=8k2+8＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
设M（t，0），则=（x1-t，y1），=（x2-t，y2），
=（x1-t）（x2-t）+y1y2
=x1x2-t（x1+x2）+t2+k2（x1-1）（x2-1）
=（1+k2）x1x2-（t+k2）（x1+x2）+t2+k2
=（1+k2）-（t+k2））+t2+k2
=
=
要使得=λ（λ为常数），只要=λ，
即（2t2-4t+1-2λ）k2+（t2-2-λ）=0（*）
对于任意实数k，要使（*）式恒成立，只要，
解得，，
若直线l垂直于x轴，其方程为x=1
此时，直线与椭圆两交点为A（1，），B（1，-）
取点S（，0），有=（-，），=（-，），
=-=λ
综上所述，过定点F（1，0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点M（，0），
使得=-