Question

若条件p：函数有意义；条件q：关于y的方程xy²+2y+x=0至多有一个实数根．则p是q的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

根据让函数解析式有意义的原则，我们构造关于x的分式不等式，解不等式可求出满足条件p的集合P，根据一元二次方程根的个数及判定方法，我们构造关于x的不等式，解不等式可求出满足条件q的集合Q，判断集合P与集合Q的包含关系，即可根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，得到答案．
【解析】
∵条件p：函数有意义；
即≥0
解得x≤-1或x＞1
∴P=（-∞，-1]∪（1，+∞）
又∵条件q：关于y的方程xy2+2y+x=0至多有一个实数根
即△=4-4x2≤0
解得x≤-1或x≥1
∴Q=（-∞，-1]∪[1，+∞）
∵P⊊Q
∴p是q的充分不必要条件
故选A