Question

△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（Ⅰ）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
（Ⅱ）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值；
（Ⅲ） 判断当sinA+sinB取最大值时，△ABC的形状．

Answer

（Ⅰ）因为，所以sinCcosA-cosCsinA=cosCsinA-sinCcosB，得 sin（C-A）=sin（B-C）．由此能求出A，C．
（Ⅱ）由C=，C=，得，即ab=6，由余弦定理得，即a2+b2-ab=7，由此能求出a+b．
（Ⅲ）C=，所以B+A=，sinA+sinB=sinA+sin==sin（）．由此能求出当sinA+sinB取最大值时△ABC是直角三角形．
【解析】
（Ⅰ）因为，即，
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
得 sin（C-A）=sin（B-C）．
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C）（不成立）．
即 2C=A+B，得C=，所以B+A=．
又因为sin（B-A）=cosC=，
则B-A=，或B-A=（舍去）
得A=，B=，C=．
（Ⅱ）∵C=，C=，由面积公式得
，即ab=6，
由余弦定理得
，即a2+b2-ab=7，②
由②变形得（a+b）2=25，∴a+b=5．
（Ⅲ）C=，所以B+A=，
sinA+sinB=sinA+sin==sin（）．
∵，∴，
∴，∴sinA+sinB∈（0，1]，
∴当sinA+sinB取最大值时，A=，∴B=，
所以此时△ABC是直角三角形．