Question

给出下列四个命题，其中错误的命题有（ ）个．
（1）函数f（x）=e^x-2的零点落在区间（0，1）内；
（2）函数y=sin2x+cos2x在x上的单调递增区间是[0，]；
（3）设A、B、C，且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，则B-A 等于-；
（4）方程sin²x+2sinx+a=0有解，则a的取值范围是[-3，1]．
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer

A中由根的存在性定理只需判断f（0）f（1）的符号；B中函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），再利用三角函数的图象进行判断；C中因为SinA-SinC=SinB，所以sinc=sina-sinb，那么（sinC）2=（sinA-sinB）2=（sinA）2-2sinA•sinB+（sinB）2，因为CosA+CosC=CoSB，所以cosC=cosB-cosA． 同理（cosC）2=（cosB）2-2cosA•cosB+（cosA）2，由此利用三角函知识进行求解；D中，方程sin2x+2sinx+a=0在x∈R上有解，可以转化为a=-sin2x-2sinx，x∈R．故令t=sinx∈[-1，1]，则方程转化为a=-t2-2t，t∈[-1，1]，借助二次函数的性质进行求解．
【解析】
A中f（0）f（1）=-1（e-2）＜0，
由根的存在性定理函数函数f（x）=ex-2的零点落在区间（0，1）内；
B中函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+），它在x上的单调递增区间是[0，]；
C中因为SinA-SinC=SinB，所以sinc=sina-sinb，
那么（sinC）2=（sinA-sinB）2=（sinA）2-2sinA•sinB+（sinB）2，
∵CosA+CosC=CoSB，
∴cosC=cosB-cosA．
同理（cosC）2=（cosB）2-2cosA•cosB+（cosA）2，
所以相加得1=1-2（cosA•cosB+sinA•sinB）+1，
公式cos（A-B）=cosA•cosB+sinA•sinB，
∴所以相加得1=1-2cos（A-B）+1，
2cos（A-B）=1
所以cos（A-B）=．
因为A，B，C∈（0，），
所以0＜A-B＜，
因此A-B=，
则B-A=-．
D中，方程sin2x+2sinx+a=0在x∈R上有解，可以转化为a=-sin2x-2sinx，x∈R
故令t=sinx∈[-1，1]，则方程转化为
a=-t2-2t，t∈[-1，1]，
此二次函数的对称轴为t=-1，故 a=a=-t2-2t在[-1，1]上是减函数，
∴-1≤t≤3，即a的取值范围是[-1，1]．
综上所述，D不正确．
故选B．