Question

已知中心在原点的椭圆的一个焦点为（0，），且过点，过A作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一个交点分别为点B和点C．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线BC的斜率为定值，并求这个定值．
（3）求三角形ABC的面积最大值．

Answer

（1）由题意得c=，再由由椭圆的定义求出a=2，b=，从而得到椭圆的方程．
（2）设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k，写出AB的方程与椭圆联立求出B，C坐标得到SC的斜率化简即可
证明直线BC的斜率为定值．
（3）利用弦长公式求出BC 的长，利用得到直线的距离公式求出A到BC的距离，即可求三角形ABC的面积最大值．
【解析】
（1）由题意可知c=，由椭圆的定义求出a=2，所以b=，所以椭圆的方程为：
（2）由题意得设AB的斜率为k，则AC的斜率为-k
所以代入得，
又∵x1=1∴
同理，为定值
（3）设BC方程为
得
得A到BC的距离为
所以
当m2=8-m2时，即m2=4时“=”成立，此时△＞0成立．