Question

符号[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3，[-1.08]=-2，定义函数{x}=x-[x]．给出下四个命题：
①函数{x}的定义域是R，值域为[0，1]
②方程有无数个解；
③函数{x}是周期函数；
④函数{x}是增函数．其中正确命题的序号有：    ．

Answer

可求出函数{x}的取值范围，即值域，可判断①不对；
令{x}=x-[x]=，可求出对应的x的值，且对应的有无数多个，故②正确；
根据周期函数的定义，可验证函数{x}是周期为1的函数，从而可判③正确；
根据函数{x}的性质和单调性可知{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④不正确．
【解析】
函数{x}的定义域是R，但是0≤x-[x]＜1，故函数{x}的值域为{0，1），故①不对；
∵{x}=x-[x]=，∴x=[x]+，∴x=1.5，2.5，3.5，…，应为无数多个，故②正确；
∵{x+1}=x+1-[x+1]=x-{x}={x}，故函数{x}是周期为1的周期函数，故③正确；
函数{x}在每一个单调区间上是增函数，但在整个定义域上不是增函数，故④不正确．
故答案为：②③