Question

已知函数y=lg（ax²-2x+2）．
（1）若函数y=lg（ax²-2x+2）的值域为R，求实数a的取值范围；
（2）若a=1且x≤1，求y=lg（ax²-2x+2）的反函数f^-1（x）；
（3）若方程lg（ax²-2x+2）=1在内有解，求实数a的取值范围．

Answer

（1）由函数y=lg（ax2-2x+2）的值域为R，知a=0或，由此能求出实数a的取值范围．
（2）由a=1且x≤1，知y=lg（x2-2x+2）≥0，所以x2-2x+2-10y=0，由求根公式得x==1-，y≥0，由此能求出反函数f-1（x）．
（3）由lg（ax2-2x+2）=1，知 ax2-2x+2=10在[，2]内有解．再进行分类讨论能求出a的取值范围．
【解析】
（1）∵函数y=lg（ax2-2x+2）的值域为R，
∴ax2-2x+2＞0的解为R+，
∴a=0或
解得：…（4分）
（2）∵a=1且x≤1，
∴y=lg（x2-2x+2）≥0，
∴x2-2x+2=10y，
即x2-2x+2-10y=0，
∵x≤1，
∴x==1-，y≥0，
∴…（8分）
（3）由lg（ax2-2x+2）=1，
可知 ax2-2x+2=10
即ax2-2x-8=0 在[，2]内有解．
①当a=0时，原方程变为-2x-8=0，x=-4，不合题意舍去，
②当a=-时，方程有相同的两个解 x1=x2=-8，不合题意舍去．
③当a≠0且a≠-时方程有两个不同解．
只有1个解在[，2]上，则把和2代入方程得（0.25a-9）（4a-12）＜0  解得3≤a≤36
有两个解在[，2]上，把和2代入方程得（0.25a-9）（4a-12）＞0且对称轴x=满足＜＜2，
解得＜a＜2．
综上所述，a的取值范围为（，2）∪[3，36]．…（12分）