Question

设正项等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=2，a₃a₄a₅=2⁹．
（1）求首项a₁和公比q的值；
（2）试证明数列{log_ma_n}（m＞0且m≠1）为等差数列．

Answer

（1）根据等比数列的性质，化简a3a4a5=29，得到a4的值，然后利用a4比上a2，即可列出关于公比q的方程，求出方程的解得到q的值，然后由a4的值和q的值即可求出首项a1的值；
（2）把（1）求出的通项公式代入数列{logman}中，得到bn的通项公式，表示出bn+1-bn的差，利用对数的运算性质化简后，得到其差为常数，从而得到数列{logman}为等差数列．
【解析】
（1）∵a3a4a5=（a4）3=29⇒a4=23=8（a4＞0），（3分）
∴，（5分）
又由a4=a1q3，即8=a1•23，解得a1=1．（7分）
（2）证明：由（1）知，an=2n-1．（9分）
设bn=logman，则bn=logm2n-1=（n-1）logm2．（12分）
∵bn+1-bn=nlogm2-（n-1）logm2=logm2=常数，
∴数列{bn}为等差数列，即数列{logman}（m＞0且m≠1）为等差数列．（14分）