Question

如图，过点（0，a³）（0＜a＜2）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A，B两点，AD，BC垂直于直线y=-8，垂足分别为D、C，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer

设切点为（x，y），则y=-ax2，把点（0，a3）代入切线方程求得x=±a，y=-a3，可得AB=2a，BC=8-a3，所以矩形面积为S=16a-2a4（0＜a＜2 ），由S'=16-8a3，可得当时，S有最大值为．
【解析】
设切点为（x，y），则y=-ax2．
因为y'=-2ax，所以切线方程为y-y=-2ax（x-x），即y+ax2=-2ax（x-x），---（2分）
因为切线过点（0，a3），所以a3+ax2=-2ax（0-x），即a3=ax2，于是x=±a．-----（2分）
将代入 y=-ax2 得，y=-a3．-----（2分）
（若设切线方程为y=kx+a3，代入抛物线方程后由△=0得到切点坐标，亦予认可．）
所以AB=2a，BC=8-a3，所以矩形面积为S=16a-2a4（0＜a＜2）．----（3分）
于是S'=16-8a3．所以当时，S'＞0；当时，S'＜0；
故当时，S有最大值为．----（3分）