Question

已知f（x）=log_a，（a＞0且a≠1）．
（1）若m，n∈（-1，1），求证f（m）+f（n）=f（）；
（2）判断f（x）在其定义域上的奇偶性，并予以证明；
（3）确定f（x）在（0，1）上的单调性．

Answer

（1）欲证f（m）+f（n）=f（）成立，把左右两边分别代入函数表达式，左边利用对数的运算性质进行化简，可变形为loga，再通过真数的分子分母都除以1+mn，即可化简成右边的形式，命题得证．
（2）利用函数奇偶性的变形形式，即只需证明f（-x）+f（x）=0，则函数必为奇函数，利用对数函数的运算性质，化简f（-x）+f（x）即可．
（3）利用单调性的定义证明，只需设函数在（0，1）上任意两个x1，x2，且x1＜x2，再作差比较f（x1）与f（x2）的大小即可，作差后一定要将差分解为几个因式的乘积的形式，再判断每一个因式的符号，根据负因式的个数判断积的符号，最后得出结论．
【解析】
（1）∵f（x）=loga，∴＞0⇒-1＜x＜1
  m，n∈（-1，1），∴f（m）+f（n）=loga+loga=loga（•）
=loga=loga=loga=f（）   
（2）∵f（-x）+f（x）=loga+loga=loga•=loga1=0，
∴f（x）在其定义域（-1，1）上为奇函数．   
（3）设0＜x1＜x2＜1，f（x1）-f（x2）=loga-loga
=loga•=loga
∵0＜x1＜x2＜1，∴1+x2-x1-x1x2＞1+x1-x2-x1x2＞0⇒＞1
∴当0＜a＜1，f（x1）-f（x2）＜0，从而f（x）在（0，1）上为增函数；
当a＞1，f（x1）-f（x2）＞0，从而f（x）在（0，1）上为减函数．