Question

已知直线m，n，平面α，β，给出下列命题中正确的是（ ）
（1）若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；
（2）若m∥α，m∥β，则α∥β；
（3）若m⊥α，m∥β，则α⊥β；
（4）若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直．
A．（2）（3）
B．（1）（3）
C．（2）（4）
D．（3）（4）

Answer

（1）若m⊥α，m⊥β，则α⊥β，可由垂直同一条直线的两个平面的关系判断；
（2）若m∥α，m∥β，则α∥β；可由面面平行的条件判断；
（3）若m⊥α，m∥β，则α⊥β；可由面面垂直的判断定理作出判断；
（4）若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直，可找出两异面直线的公垂线，利用一条直线与公垂线所成的平面与另一条异面直线垂直作出判断．
【解析】
（1）若m⊥α，m⊥β，则α⊥β；此命题不正确，因为由m⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命题错误；
（2）若m∥α，m∥β，则α∥β；此命题错误，因为两个平面平行于同一条直线不能保证两个平面平行；
（3）若m⊥α，m∥β，则α⊥β；此命题正确，因为m∥β，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥α可得出n⊥α，由面面垂直的判定定理知，α⊥β；
（4）若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直，此命题正确，因为两异面直线一定存在一条公垂线，此公垂线与一条线所成的平面一定与两条异面直线中的另一条垂直，故若异面直线m，n互相垂直，则存在过m的平面与n垂直是正确的
综上知③④是正确命题
故选D