Question

已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）求圆锥的体积；
（2）求M，N两点在圆锥侧面上的最短距离．

Answer

（1）设OA中点C，连接NC、CM，利用直线与平面所成角的定义得∠MNC即为NM与高SO所成的角α再结合条件解三角形得出高长，最后利用锥体体积公式求得圆锥的体积；
（2）最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个三角形，然后根据余弦定理进行计算．
【解析】
（1）设OA中点C，连接NC、CM，则NC∥SO，
故∠MNC即为NM与高SO所成的角α，（2分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（4分）
又，即，（5分）
从而圆锥的体积（7分）
（2）作圆锥的侧面展开图，线段MN即为所求最短距离．（8分）
由已知OM⊥SO，OM⊥SA⇒OM⊥OA，
故M是弧AB的中点，即M是扇形弧的点．（10分）
因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，
由（1）知，所以母线SA=3，
从而扇形的中心角为，所以（12分）
在三角形MSA中，由余弦定理得（14分）