Question

已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函数g（x）=2^x-1在区间[0，1]上是否同时适合①②③？并予以证明；
（3）假定存在x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证：f（x）=x．

Answer

（1）由①知：f（0）≥0；由③知f（0）≤0，从而得到f（0）=0．
（2）由题设知g（1）=1；由x∈[0，1]知2x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则，；由此能够证明函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．
（3）若f（x）＞x，则由题设知f（x）-x∈[0，1]，且由①知f[f（x）-x]≥0，由此入手能证明f（x）=x．
【解析】
（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0；
∴f（0）=0
（2 ） 证明：由题设知：g（1）=2-1=1；
由x∈[0，1]知2x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；
设x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则，；
∴
即g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2）
∴函数g（x）=2x-1在区间[0，1]上同时适合①②③．
（3）证明：若f（x）＞x，则由题设知：f（x）-x∈[0，1]，且由①知f[f（x）-x]≥0，
∴由题设及③知：x=f（f（x））=f[（f（x）-x）+x]=f[f（x）-x]+f（x）≥f（x）
矛盾；
若f（x）＜x，则则由题设知：x-f（x）∈[0，1]，且由①知f[x-f（x）]≥0，
∴同理得：f（x）=f[（x-f（x））+f（x）]=f[x-f（x）]+f（f（x））≥f（f（x））=x，矛盾；
故由上述知：f（x）=x．