Question

已知f（x）=log₄（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）判断方程f（x）=x+b的零点的个数．

Answer

（1）根据偶函数的定义可知f（-x）=f（x），然后化简可得2k+1=0，可求出k的值；
（2）令y=log4（4x+1）-x，由于y=log4（4x+1）-x为减函数，且恒为正，当b＞0时，y=log4（4x+1）-x-b有唯一的零点，当b≤0时，y=log4（4x+1）-x-b没有零点．
【解析】
（1）∵f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函数．
∴f（-x）=f（x）
即log4（4-x+1）-kx=log4（4x+1）+kx
即log4（4x+1）-（k+1）x=log4（4x+1）+kx
即2k+1=0
∴k=
证明：（2）由（1）得f（x）=log4（4x+1）x
令y=log4（4x+1）-x
由于y=log4（4x+1）-x为减函数，且恒为正
故当b＞0时，y=log4（4x+1）-x-b有唯一的零点，此时函数y=f（x）的图象与直线 有一个交点，
当b≤0时，y=log4（4x+1）-x-b没有零点，此时函数y=f（x）的图象与直线 没有交点