Question

设双曲线的离心率e=，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．
（1）求双曲线方程；
（2）直线y=kx+5（k≠0）与双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在以A为圆心的同一个圆上，求k值．

Answer

（1）设直线AB的方程为bx-ay-ab=0进而表示出原点O到直线AB的距离求得ab和c的关系，进而根据离心率和a，b和c的关系建立方程组求得a和b，则双曲线方程可得．
（2）直线方程与双曲线方程联立消去y，设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点M（x，y），根据|AC|=|AD|判断出M在CD的中垂线AM上，进而求得x和y的表达式，代入直线AM的方程中求得k．
【解析】
（1）设直线AB的方程为bx-ay-ab=0，
又原点O到直线AB的距离=
∴ab=c
进而有解得a=，b=1
∴双曲线方程为
（2）由消去y，（1-3k2）x2-30kx-78=0
设C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点M（x，y），
∵|AC|=|AD|，∴M在CD的中垂线AM上，
∴x==，y=kx+5=
lAM：y+1=-x，
∴+1=-，整理解得k=