Question

设a为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N⁺）．
（1）若数列{a_n+λ3ⁿ}是等比数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）假设对任意n≥1，有a_n≥a_n-1，求a的取值范围．

Answer

（1）由题意知  an+λ3n=-2（an-1+λ3n-1），故 an=-2an-1-2•λ•3n-1-λ3n，待定系数法求出实数λ的值．
（2）根据数列 的首项为，公比为-2，可得通项公式．
（3）利用（2）的结果，得an≥an-1等价于…③，分n为奇数和偶数两种情况分别求出
 a的值，取交集即得所求．
【解析】
（1）由题意知an+λ3n=-2（an-1+λ3n-1），an=-2an-1-2•λ•3n-1-λ3n，∴．
（2）数列 的首项为，公比为-2．
，∴，n=0，1，2，3，…
（3）利用（2）的结果，得an≥an-1等价于…③
对任意的奇数n＞0，③式都成立的充要条件为，即；
而对任意的偶数n＞0，③式都成立的充要条件为，即a＞0．
因此任意n≥1，都使an≥an-1成立的a的取值范围为 ．