Question

数列{a_n}是首项为1的等差数列，数列{b_n}是首项为1的等比数列，设   c_n=a_nb_n，且数列{c_n}的前三项依次为1，4，12，
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若等差数列{a_n}的公差d＞0，它的前n项和为S_n，求数列的前n项的和T_n．
（3）若等差数列{a_n}的公差d＞0，求数列{c_n}的前n项的和．

Answer

（1）分别设出等差数列的公比为d，等比数列的公比为q，由数列{cn}的前三项依次为1，4，12，根据等差数列及等比数列的通项公式化简，根据d大于0，把两数列的首项代入即可求出d与q的值，进而写出等差及等比数列的通项公式即可；
（2）由（1）求出的d与首项的值，根据等差数列的求和公式表示出Sn，然后等号两边都除以n，得到数列{ }是首项是a1=1，公差为 =的等差数列，根据等差数列的前n项和公式，由首项a1和d的值即可表示出T．
（3）cn是等差数列与等比数列的积，故用错位相减法．
【解析】
（1）设an=1+（n-1）d，bn=qn，由数列{cn}的前三项依次为1，4，12得解得，（舍去，所以通项公式为
（2）由题意知an=n，，，则
（3）由题意知cn=n•2n-1，设{cn}的前n项和为An，
则An=1+2•2+3•22+…+n•2n-12An=2+2•22+3•23+…+（n-1）•2n-1+n•2n
错位相减得 An=（n-1）2n+1