Question

已知k∈R，函数f（x）=a^x+k•b^x（a＞0，且a≠1；b＞0，且b≠1）
（1）已知函数在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．若，求函数f（x）的单调区间．
（2）若实数a，b满足ab=1．求k的值，使得函数f（x）具有奇偶性．（写出完整解题过程）

Answer

（1）将a，b的值代入，得到，换元，令t=2x，根据的单调区间判断函数的单调区间．
（2）根据奇函数偶函数的概念，代入f（x），化简整理，求得k的值．
【解析】
（1）当时，函数…（1分）
令t=2x（t＞0），则原函数变为
由条件知，当t∈（0，1]时，y单调递减．此时x∈（-∞，0]，且t=2x在（-∞，0]上单调递增．
所以有函数在（-∞，0]上单调递减．…（3分）
当t∈[1，+∞）时，y单调递增．此时x∈[0，+∞），且t=2x在[0，+∞）上单调递增．
所以有函数在（-∞，0]上单调递增．…（3分）
综上，在（-∞，0]上单调递减，在（-∞，0]上单调递增． …（1分）
（2）由题意，ab=1，所以有
①若f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），即a-x+kb-x=-（ax+kbx），
即，得bx+kax=-（ax+kbx），
整理得（1+k）（bx+ax）=0，所以有1+k=0，得k=-1…（3分）
②若f（x）为偶函数，则有f（-x）=f（x），即a-x+kb-x=ax+kbx，
即，得bx+kax=ax+kbx，所以得k=1…（3分）
综上有，k=-1时，f（x）为奇函数，k=1时，f（x）为偶函数．…（1分）