Question

已知二次函数f（x）=（a+1）x²+（a²-1）x+1（a为常数）是R上的偶函数．
（1）求出a的值．
（2）若x∈[-1，2]，求f（x）的取值范围．
（3）若x满足方程f（x）=x，则称x为函数f（x）的不动点．求证函数f（x）没有不动点．（写出完整解题过程）

Answer

（1）根据偶函数的定义f（-x）=f（x）对任意x∈R都成立，结合f（x）=（a+1）x2+（a2-1）x+1，易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值．
（2）由（1）的结论，我们可以得到函数f（x）的解析式，根据二次函数的性质，易求出函数的最小值，进而得到f（x）的取值范围．
（3）根据（2）中函数f（x）的解析式，根据方程f（x）=x无实根，可得函数f（x）没有不动点．
【解析】
（1）因为 f（x）是R上的偶函数
所以f（-x）=f（x）对任意x∈R都成立          …（1分）
即（a+1）x2-（a2-1）x+1=（a+1）x2+（a2-1）x+1
得2（a2-1）x=0对任意x∈R都成立
所以有a2-1=0，解得a=±1…（2分）
又因为f（x）是二次函数
所以a+1≠0，即a≠-1
综上可得a=1…（2分）
（2）由（1）知f（x）=2x2+1，可得f（x）在区间[-1，0]上单调递减，在区间[0，2]上单调递增．        …（1分）
所以当x=0时，f（x）最小，f（0）=1
所以当x=2时，f（x）最大，f（2）=9…（3分）
所以f（x）的值域为[1，9]…（1分）
（3）若f（x）=x，则有2x2+1=x
得2x2-x+1=0…（2分）△=1-8=-7＜0所以方程无解                …（1分）
所以函数f（x）无不动点                        …（1分）