Question

定义在R上的偶函数f（x）满足：f（0）=5，x＞0时，
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）求证：函数f（x）在区间（0，2）上递减，（2，+∞）上递增；
（3）当x∈[-1，t]时，函数f（x）的取值范围是[5，+∞），求实数t的取值范围．

Answer

（1）欲求x＜0时的解析式，根据偶函数f（x）的性质，先设x＜0时，f（x）=f（-x）即可求得；
（2）利用函数单调性的定义证明，任取x1，x2∈（0，2）且x1＜x2，作差与0比较即可；
（3）利用y=f（x）的图象，如图，欲使得函数f（x）的取值范围是[5，+∞），易知t的取值范围．
【解析】
（1）x＜0时，；（4分）
（2）任取x1，x2∈（0，2）且x1＜x2，
∵
而x1-x2＜0，0＜x1•x2＜4，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在（0，2）上递减；
再任取x1，x2∈（2，+∞）且x1＜x2同理可得：
函数f（x）在区间（2，+∞）上递增．
（3）利用y=f（x）的图象，如图，
函数f（x）的取值范围是[5，+∞），易知t∈[0，1]．（4分）