Question

定义在R上的函数f（x）同时满足条件：①对定义域内任意实数a，b，都有f（a+b）=f（a）•f（b）；②x＞0时，f（x）＞1．那么，
（1）试举出满足上述条件的一个具体函数；
（2）求f（0）的值；
（3）比较f（1）和f（3）的大小并说明理由．

Answer

（1）由题设条件中所给的函数的性质知此函数应该是一个递增的指数函数，此类函数易找出；
（2）令a＞0，b=0，代入f（a+b）=f（a）•f（b），结合性质②求出f（0）的值，
（3）比较f（1）和f（3）的大小可由f（a+b）=f（a）•f（b），及性质②说明理由．
【解析】
（1）由题意知函数的性质与递增的指数函数的性质相同，
故可令f（x）=2x（或f（x）=ax（a＞1））；（4分）
（2）令a＞0，b=0，则f（a）=f（a）•f（0），而f（a）＞0，
∴f（0）=1；（4分）
（3）∵f（3）=f（1）+f（2），
∴f（3）-f（1）=f（2）＞0，
∴f（1）＜f（3）（4分）