Question

设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求证：f（0）=1；
（2）求证：当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数．

Answer

（1）由已知中，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），令m=0，易得f（0）=1；
（2）令m=-n，结合（1）的结论，可得f（x）与f（-x）互为倒数，结合当x＞0时，0＜f（x）＜1，易得答案；
（3）设x1＞x2，易根据f（m+n）=f（m）•f（n）得：f（x1）=f（x2）•f（x1-x2），根据当x∈R时，恒有f（x）＞0，利用作商法，可得f（x1）＜f（x2），进而根据函数单调性的定义，即可得到答案．
证明：（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n），
则f（0）=1
（2）由（1）中结论可得：
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1，
∴f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）＞1，
又由x=0时，f（0）=1
故当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）设x1＞x2，
∴f（x1）=f（x2+（x1-x2））=f（x2）•f（x1-x2）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
所以=f（x1-x2）＜1
所以f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在R上是减函数