Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求a₂，a₃；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）等差数列{b_n}的前n项和T_n有最大值，且T₃=15，又a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

Answer

（1）由a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．知a2=2a1+1=3，a3=2（a1+a2）+1=9．
（2）由an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，得an+1=3an（n≥2），由a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，知，由此能求出数列{an}的通项公式．
（3）等差数列{bn}中，设首项为b1，公差为d，由T3=15得：3b1+3d=15．由a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，得（3+b1+d）2=（1+b1）（9+b1+2d）．由此能求出Tn．
【解析】
（1）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1）．
∴a2=2a1+1=3，
a3=2（a1+a2）+1=9…（4分）
（2）an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1，
两式相减得an+1=3an（n≥2），
又a2=2S1+1=2a1+1=3=3a1，
∴
∴{an}是以a1=1为首项，3为公比的等比数列，
∴an=3n-1…（8分）
（3）等差数列{bn}中，设首项为b1，公差为d，
由T3=15得：3b1+3d=15，
由a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列得：（3+b1+d）2=（1+b1）（9+b1+2d）
解之得（不合）  ，
∴Tn=-5n2+20n           …（14分）