Question

已知：f_n（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，f_n（-1）=（-1）ⁿ•n，n=1，2，3，…
（I）求a₁、a₂、a₃；
（II）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求证：．

Answer

（I）将x=-1代入函数fn（x）=a1x+a2x2+…+anxn中，分别令n=1，2，3便可以求出a1、a2、a3的值；
（II）利用题中的公式先求出an+1的表达式即可求出数列an的通项公式；
（III）利用数列的差项相减法便可求出fn（）的表达式，进而可以证明＜1．
【解析】
由已知f1（-1）=-a1=-1，所以a1=1（1分）
f2（-1）=-a1+a2=2，所以a2=3，
f3（-1）=-a1+a2-a3=-3，所以a3=5（3分）
（II）∵（-1）n+1•an+1=fn+1（-1）-fn（-1）=（-1）n+1•（n+1）-（-1）n•n
∴an+1=（n+1）+n
即an+1=2n+1
所以对于任意的n=1，2，3，an=2n-1（7分）
（III）fn（x）=x+3x2+5x3++（2n-1）xn
∴fn（）=+3（）2+5（）3+…+（2n-1）（）n           ①
fn（）=（）2+3（）3+5（）4+…+（2n-1）（）n+1   ②
①─②，得
fn（）=（）+2（）3+2（）4+…+2（）n-（2n-1）（）n+1 （9分）
=
∴，（12分）
又n=1，2，3，故＜1（13分）