Question

过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x²+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点，设切线AP，AQ的斜率分别为k₁和k₂．
（1）求证：k₁k₂=-4；
（2）试问：直线PQ是否经过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

Answer

（1）设过A（a，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，则该切线的方程为：y=k（x-a）．由 得x2-kx+（ka+1）=0，由此可知k1k2=-4．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由题意知y1=2x1a+2，y2=2x2a+2，由此可知直线PQ的方程是y=2ax+2，直线PQ过定点（0，2）．
【解析】
（1）设过A（a，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-a）
由 得x2-kx+（ka+1）=0∴△=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0
则k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，故k1k2=-4
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y1=2x1（x-x1）
则-y1=2x1（a-x1）=2x1a-2x12=2x1a-2（y1-1）∴y1=2x1a+2，同理y2=2x2a+2
则直线PQ的方程是y=2ax+2，则直线PQ过定点（0，2）．