Question

如图，两条过原点O的直线l₁，l₂分别与x轴、y轴成30°的角，已知线段PQ的长度为2，且点P（x₁，y₁）在直线l₁上运动，点Q（x₂，y₂）在直线l₂上运动．
（Ⅰ）求动点M（x₁，x₂）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设过定点T（0，2）的直线l与（Ⅰ）中的轨迹C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据题意可知直线l1⊥l2，进而可求得两直线的方程，设出P，Q点的坐标分别代入直线方程，根据|PQ|=2求得则动点M的轨迹方程可得．
（Ⅱ）设出直线l的方程，带代入椭圆方程消去y，设A（x1，y1）、B（x2，y2），利用判别式求得k的范围，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2根据∵∠AOB为锐角，判断出，求得k的范围，最后综合取交集求得k的范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知得直线l1⊥l2，l1：，l2：
∵P（x1，y1）在直线l1上运动，Q（x2，y2）直线l2上运动，
∴，，
由|PQ|=2得（x12+y12）+（x22+y22）=4，
即，⇒，
∴动点M（x1，x2）的轨迹C的方程为．

（Ⅱ）直线l方程为y=kx+2，将其代入，
化简得（1+3k2）x2+12kx+9=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2）
∴△=（12k）2-36×（1+3k2）＞0，⇒k2＞1，
且，
∵∠AOB为锐角，∴，
即x1x2+y1y2＞0，⇒x1x2+（kx1+2）（kx2+2）＞0，
∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4＞0．
将代入上式，
化简得，．
由k2＞1且，得．