Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AC=BC=CC₁，M是A₁B的中点．
（Ⅰ）在线段B₁C₁上是否存在一点N，使得MN⊥平面A₁BC？若存在，找出点N的位置幷证明；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求平面A₁AB和平面A₁BC所成角的大小．

Answer

（I）由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，可以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出N点坐标，根据MN⊥平面A1BC，则•=0，•=0，构造方程组，若方程组有解，则存在满足条件点N，若方程组无解，则不存在满足条件点N；
（II）分别求出平面A1AB和平面A1BC的法向量，代入向量夹角公式，求出平面A1AB和平面A1BC所成角的余弦值，进而可以求出平面A1AB和平面A1BC所成角的．
【解析】
（Ⅰ）根据题意CA、CB、CC1两两互相垂直
如图：以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
设AC=BC=CC1=a，则A1（a，0，a），，B（0，a，0），B1（0，a，a），A（a，0，0），C1（0，0，a），
假设在B1C1上存在一点N，使MN⊥平面A1BC，设N（0，y，a）
所以=（a，-a，a），=（a，0，a），
由•=0，•=0，得：
∴N在线段B1C1的中点处（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知MN⊥平面A1BC，则平面A1BC的一个法向量为分
取AB中点D，连接CD，易证CD⊥平面A1AB
∴可得面A1AB的一个法向量（8分）

所以面A1AB和面A1BC所成的角为．（12分）