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已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=k(x-1),函数f(x)-g(x)其...

已知函数f(x)=(x-1)2,g(x)=k(x-1),函数f(x)-g(x)其中一个零点为5,数列{an}满足manfen5.com 满分网,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0.
(1)求数列{an}通项公式:
(2)试证明manfen5.com 满分网
(3)设bn=3f(an)-g(an+1),试探究数列{bn}是否存在最大项和最小项?若存在求出最大项和最小项,若不存在,说明理由.
(1)根据题意先求出k的值,进而求出a1的值,然后根据(an+1-an)g(an)+f(an)=0可以求出an-1为等比数列,便可求出数列{an}通项公式; (2)由(1)求得的数列{an}通项公式求出的表达式,再根据不等式的性质即可证明; (3)根据题意先求出bn的通项公式,然后令,讨论bn的单调性,分别讨论n=1,2,3,4时u的值,即可求出bn的最大项和最小项的值. 【解析】 (1)函数f(x)-g(x)有一个零点为5,即方程(x-1)2-k(x-1)=0,有一个根为5, 将x=5代入方程得16-4k=0, ∴k=4,∴a1=2(1分) 由(an+1-an)g(an)+f(an)=0得 4(an+1-a1)(an-1)+(an-1)2=0, (an-1)(4an+1-4an+an-1)=0, ∴an-1=0或4an+1-4an+an-1=0,(3分) 由(1)知a1=2,∴an-1=0(舍去). 由4an+1-4an+an-1=0得4an+1=3an+(14分) 由4an+1=3an+1得an+1-1=(5分) ∴数列{an-1}是首项为a1-1=1,公比为的等比数列 ∴an-1=, ∴数列{an}通项公式为an=.(6分) (2)由(1)知∴=+n=4[1-(8分) ∵对∀n∈N*,有, ∴∴+n≥1+n, 即(10分) (3)由bn=3f(an)-g(an+1)得bn=3(an-1)2-4(an+1-1) ∴=(11分) 令,则0<u≤1, bn=3(u2-u)= ∵函数在上为增函数,在上为减函数(12分) 当n=1时u=1, 当n=2时, 当n=3时,=, 当n=4时, ∵,且 ∴当n=3时,bn有最小值,即数列{bn} 有最小项,最小项为(13分) 当n=1即u=1时,bn有最大值,即有最大项,最大项为b1=3(1-1)=0.(14分)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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