Question

如图，平面EAD⊥平面ABCD，△ADE是等边三角形，ABCD是矩形，F是AB的中点，G是AD的中点，EC与平面ABCD成30°角．
（1）求证：EG⊥平面ABCD；
（2）若AD=2，求二面角E-FC-G的度数．

Answer

（1）由已知中，△ADE是等边三角形，G是AD的中点，结合等边三角形“三线合一”的性质，易得EG⊥AD，又由平面EAD⊥平面ABCD，由面面垂直的性质可得EG⊥平面ABCD；
（2）连接CG，则CG是EC在平面ABCD的射影，结合已知中EC与平面ABCD成30°角，得∠ECG=30°，解Rt△ECG，Rt△CDG，求出GF，FC，GC的长，易根据勾股定理得到，GF⊥FC，EF⊥FC，故∠EFG是二面角E-FC-G的平面角，解三角形EFG，即可求出二面角E-FC-G的度数．
【解析】
（1）证明：如图所示，∵△ADE是等边三角形，
∴EG⊥AD
又平面EAD平面ABCD且相交于AD，
∴EG⊥平面ABCD（4分）
（2）连接CG，则CG是EC在平面ABCD的射影
∴∠ECG是EC与平面ABCD所成的角，
∴∠ECG=30°
在Rt△ECG中：
∵AD=2，
∴EG=，
∴CG=3
在Rt△CDG中：
∵DG=1，GC=3，
∴DC=
则AF=BF=，GF=，FC=
∴GF2+FC2=GC2，
即GF⊥FC
∵GF是EF在平面AC内的射影，
∴EF⊥FC
∴∠EFG是二面角E-FC-G的平面角．
在Rt△EGF中，EG=GF=
∴∠EFG=45°
故所求二面角E-FC-G的度数为45°（12分）