Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为A₁D中点，N为AC中点．
（1）求异面直线MN和AB所成的角；
（2）求点M到平面BB₁D₁D之距．

Answer

（1）可以先求出MN和CD所成的角为45°，然后由CD∥AB即可求出MN和AB所成的角；
（2）先求出A1和平面BB1D1D的距离，M点到平面BB1D1D的距离为 A1和平面BB1D1D的距离的二分之一
【解析】
（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1D中点，
连接AD1，则M为A1D和AD1的交点
在△AD1C中，M、N分别为AD1和AC之中点，
∴MN∥D1C，而D1C和DC所成角为45°，又DC∥AB
∴MN和AB所在异面角为45°．
（2）∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BDD1B1为体对角面
∴A1到面BD1之距即A1到B1D1之距a．
又M为A1D之中点，从而M到BD1之距a．