Question

已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，=（cosA，sinA），⊥，且acosC+ccosA=bsinB．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）△ABC的面积为，求a+b的值．

Answer

（Ⅰ）利用向量的垂直，数量积为0，推出A的三角函数的关系，求出A的值，利用正弦定理、两角和的正弦函数化简方程，求出B的值，然后求角C的值；
（Ⅱ）通过△ABC的面积为，求出ab的值，求a+b的值．
【解析】
（Ⅰ）由⊥，得，即，∵A∈（0，π），∴，（2分）
∵acosC+ccosA=bsinB，∴由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=sinBsinB，
即sin（A+C）=sin2B，（4分）
又∵sin（A+C）=sinB，∴sinB=sin2B，∴sinB=1，∴，∴．（6分）
（Ⅱ由面积公式得，（8分），又
∴．（12分）