Question

等差数列{a_n}的各项均为正整数，a₁=3，前n项和为S_n，等比数列{b_n}中，b₁=1，且b₂S₂=64，是公比为64的等比数列．
（1）求{a_n}与{b_n}；
（2）证明：．

Answer

（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+（n-1）d，bn=qn-1，
依题意有 ，由此可导出an与bn．
（2）Sn=3+5++（2n+1）=n（n+2），所以 ，然后用裂项求和法进行求解．
【解析】
（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，an=3+（n-1）d，bn=qn-1
依题意有 ①
由（6+d）q=64知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得d=2，q=8
故an=3+2（n-1）=2n+1，bn=8n-1
（2）Sn=3+5++（2n+1）=n（n+2）
∴==．