Question

已知椭圆方程为，试确定m的范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线y=4x+m对称．

Answer

根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分，从而可得直线AB的斜率k=-，直线AB与椭圆有两个交点，且AB的中点M在直线y=4x+m，可设直线AB 的方程为y=，联立方程整理可得13x2-8bx+16（b2-3）=0可求中点M，由△=64b2-4×13×16（b2-3）＞0可求b的范围，由中点M在直线y=4x+m可得m，b 的关系，从而可求m的范围
【解析】
设椭圆上关于直线y=4x+m对称的点A（x1，y1），B（x2，y2），
则根据对称性可知线段AB被直线y=4x+m垂直平分．
可得直线AB的斜率k=-，直线AB与椭圆有两个交点，且AB的中点M（x，y）在直线y=4x+m，
故可设直线AB 的方程为y=，
整理可得13x2-8bx+16（b2-3）=0，
所以，，
由△=64b2-4×13×16（b2-3）＞0可得，
所以代入直线y=4x+m可得m=
所以，．