Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为一直角梯形，其中BA⊥AD，CD⊥AD，CD=AD=2AB，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD：
①求异面直线PD与BC所成角的余弦值；
②求二面角E-BD-C的余弦值．

Answer

建立空间直角坐标系求出相关向量，
（1）利用共面向量定理：，证明BE∥平面PAD；
（2）若BE⊥平面PCD，①求出=（0，2a，-2a）和=（a，2a，0）的数量积来求异面直线PD与BC所成角的余弦值；②求平面BDE的一个法向量为=（2，1，-1）；平面BDC的一个法向量为=（0，0，1）；然后求向量的数量积来求二面角E-BD-C的余弦值．
【解析】
设AB=a，PA=b，建立如图的空间坐标系，
A（0，0，0），B（a，0，0），P（0，0，b），
C（（2a，2a，0），D（0，2a，0），E（a，a，）．
（1）=（0，a，），=（0，2a，0），=（0，0，b），
所以，BE∉平面PAD，∴BE∥平面PAD；

（2）∵BE⊥平面PCD，∴BE⊥PC，即=0
=（2a，2a，-b），∴==0，即b=2a．
①=（0，2a，-2a），=（a，2a，0），
cos＜，＞==，
所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为；
②平面BDE和平面BDC中，=（0，a，a），
=（-a，2a，0），=（a，2a，0），
所以平面BDE的一个法向量为=（2，1，-1）；
平面BDC的一个法向量为=（0，0，1）；
cos＜，＞=，所以二面角E-BD-C的余弦值为．