Question

双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点，己知成等差数列，且与同向，则双曲线的离心率    ．

Answer

由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
【解析】
设双曲线方程为 由 ，同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，），
∴渐近线斜率为：，∴
∴|AB|2=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|-|OA|）2|AB|，
∴
∴
可得：，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan（-）
∴，∴2k2+3k-2=0，∴；
∴，∴
∴
故答案为．