Question

已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）满足a_n+1=a_nb_n+1，，且点P₁的坐标为（1，-1）．
（Ⅰ）求经过点P₁，P₂的直线l的方程；
（Ⅱ） 已知点P_n（a_n，b_n）（n∈N^*）在P₁，P₂两点确定的直线l上，求证：数列是等差数列．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求对于所有n∈N^*，能使不等式（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）≥成立的最大实数k的值．

Answer

（Ⅰ）由，知．由此知过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．
（Ⅱ）由Pn（an，bn）在直线l上，知2an+bn=1．故bn+1=1-2an+1．由an+1=anbn+1，得an+1=an-2anan+1．由此知是公差为2的等差数列．
（Ⅲ）由．，知．所以，．依题意恒成立．设，所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．
【解析】
（Ⅰ）因为，所以．所以．（1分）
所以过点P1，P2的直线l的方程为2x+y=1．（2分）
（Ⅱ）因为Pn（an，bn）在直线l上，所以2an+bn=1．所以bn+1=1-2an+1．（3分）
由an+1=anbn+1，得an+1=an（1-2an+1）．即an+1=an-2anan+1．
所以．所以是公差为2的等差数列．（5分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得．
所以．
所以．（7分）
所以．（8分）
依题意恒成立．
设，
所以只需求满足k≤F（n）的F（n）的最小值．（10分）
因为
==，
所以F（n）（x∈N*）为增函数．（12分）
所以．
所以．所以．（14分）