Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，设y=f（x）
（Ⅰ）求证：tan（α+β）=2tanα； （Ⅱ）求f（x）的解析式；
（Ⅲ）已知数列a_n满足，问数列是否存在最小项，若有求出此项，若无说明理由？

Answer

（Ⅰ） 利用两角和差的正弦公式把sin（α+β+α）=3sin（α+β-α） 展开、移项化简可得sin（α+β）cosα=2 cos（α+β）sinα，
再利用同角三角函数的基本关系可证得tan（α+β）=2tanα．
（Ⅱ） 把 tan（α+β）=2tanα 利用两角和的正切公式 展开可得 =2x，即 y=．
（Ⅲ）由条件可得an=+2n≥2，当且仅当n= 时取等号，由于n∈N+，故数列不存在最小项．
【解析】
（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ，∴sin（α+β+α）=3sin（α+β-α），
∴sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα，∴sin（α+β）cosα=2 cos（α+β）sinα，
∴tan（α+β）=2tanα．
（Ⅱ） 设tanα=x，tanβ=y，由（Ⅰ）可得 =2x，∴y=，即 f（x）=．
（Ⅲ）∵数列an满足 ，∴an==+2n≥2，当且仅当=2n，即 n= 时取等号．
由于n∈N+，故数列不存在最小项．