Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，，a=3，△ABC的面积为6，D为△ABC内任一点，点D到三边距离之和为d．
（1）求角A的正弦值；
（2）求边b、c；
（3）求d的取值范围．

Answer

（1）把已知的条件变形后，利用余弦定理得到cosA的值，然后根据A的范围，利用同角三角函数间的基本关系即可求出sinA的值；
（2）根据三角形的面积公式及，a=3，联立即可求出b与c的值；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，利用间接法求出三角形面积并让其等于6得到关于x、y和z的等式，而d等于x+y+z，两者联立消去z后表示出y的关系式，利用距离大于等于0得到一个不等式组，画出此不等式组所表示的平面区域，在平面区域内得到d的最小值和最大值即可得到d的取值范围．
【解析】
（1）由
变形得，利用余弦定理得
因为A∈（0，π），所以sinA===；
（2）∵，∴bc=20
由及bc=20与a=3
解得b=4，c=5或b=5，c=4；
（3）设D到三边的距离分别为x、y、z，
则
又x、y满足
由d=+（2x+y）得到y=-2x+5d-12，画出不等式表示的平面区域得：y=-2x+5d-12是斜率为-2的一组平行线，
当该直线过不等式表示的平面区域中的O点即原点时与y轴的截距最小，把（0，0）代入到方程中求得d=；
当该直线过A点时，与y轴的截距最大，把A（4，0）代入即可求得d=4，
所以满足题意d的范围为：