Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+c（x∈R）的图象与直线15x-y+10=0相切于点（-1，-5），且函数f（x）在x=4处取得极值．
（1）求f（x）的解析式；   （2）求f（x）的极值．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数得到函数值为15，把x=-1代入f（x）得到函数值为-5，把x=4代入导函数得到函数值为0，列出关于a，b和c的方程组，求出方程组的解即可得到a，b和c的值，代入即可确定出f（x）；
（2）把（1）求出的a和b代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值．
.【解析】
（1）求出导函数得：f′（x）=3ax2+2bx，
由题意可知：，即，
解得：，∴f（x）=x3-6x2+2；
（2）把a=1，b=-6代入导函数得：f′（x）=3x2-12x，
由f′（x）=0，解得x=0或x=4，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

x （-∞，0） （0，4） 4 （4，+∞）
f′（x） + - +
f（x） ↑ 极大值2 ↓ 极小值-30 ↑

∴当x=0时，f（x）取得极大值2，当x=4时，f（x）取得极小值-30．