Question

已知x，y∈R，2x+3y=13，则x²+y²+1的最小值为    ．

Answer

解法1：利用解析几何的性质可知3x+y=10表示直线的方程，则x2+y2表示直线上的点到原点的距离，推断出原点到直线3x+y=10距离为直线的点到原点的最短距离，最后利用点到直线的距离求得问题的答案．
解法2：欲求x2+y2的最小值，根据它与条件的结构特点，考虑利用柯西不等式解决．
解法1：根据解析几何的性质可知，2x+3y=13表示直线的方程，
则x2+y2表示直线上的点到原点的距离的平方，
由于原点到直线2x+3y=13距离为直线的点到原点的最短距离，
故x2+y2的最小值为（ ）2=13，
则x2+y2+1的最小值为14；
解法2：因为2x+3y=13，
所以利用柯西不等式得
（x2+y2）（22+32）≥（2x+3y）2，
即13（x2+y2）≥132，
即x2+y2≥13，
当且仅当 即 时取等号，
即x2+y2的最小值为13．
则x2+y2+1的最小值为14．
故答案为：14