Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d是R上的奇函数，且在x=1时取得极小值-．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，证明：f（x₁）-f（x₂）≤．

Answer

（1）根据函数是奇函数，得出ac的值，在求出函数的导数，根据在x=1处的有极值得出在x=1处的导数为0，求出b的值
（2）球出导数判断函数的极值，以及在端点处的端点值，比较极值和端点值大小，确定函数的最值，根据函数两最值之差最大证明f（x1）-f（x2）≤
【解析】
（1）可知b=d=0，（2分）
所以f′（x）=3ax2+c
可知⇒⇒，
经检验知：f（x）=x3-x（4分）
（2）即证f（x）max-f（x）min≤（6分）
因为f′（x）=x2-1，所以x∈[-1，1]时f′（x）≤0，从而函数f（x）在[-1，1]上单调递减，
所以f（x）max=f（-1）=，f（x）min=f（1）=，
所以f（x）max-f（x）min≤，
从而对任意x1，x2∈[-1，1]，有f（x1）-f（x2）≤，（10分）