Question

设P（x，y）是抛物线y²=2px（p＞0）上异于顶点的定点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线上的两个动点，且直线PA与PB的倾斜角互补
（1）求的值
（2）证明直线AB的斜率是非零常数．

Answer

（I）设出直线PA，PB的斜率，把A，P点代入抛物线的方程相减后，表示出两直线的斜率，利用其倾斜角互补推断出
kPA=-kPB，化简出 即可．
（II）求得三点纵坐标的关系式，同样把把A，B点代入抛物线的方程相减后，表示出AB的斜率，将y1+y2=-2y代入求得结果为非零常数．
【解析】
（I）设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为k PB
由y12=2px1，y2=2px
相减得（y1-y）（y1+y）=2p（x1-x）
故
同理可得
由PA，PB倾斜角互补知kPA=-kPB
即
所以y1+y2=-2y
故
（II）设直线AB的斜率为kAB
由y22=2px2，y12=2px1
相减得（y2-y1）（y2+y1）=2p（x2-x1）
所以
将y1+y2=-2y（y＞0）代入得，所以kAB是非零常数．