Question

如图，已知焦点在x轴上的椭圆经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于A，B两不同的点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数m的取值范围；
（3）是否存在实数m，使△ABM为直角三角形，若存在，求出m的值，若不存，请说明理由．

Answer

（1）设出椭圆方程的标准形式，由离心率的值及椭圆过点（4，1）求出待定系数，得到椭圆的标准方程．
（2）把直线方程代入椭圆的方程，由判别式大于0，求出m的范围即可；
（3）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m满足题意，再利用△ABM为直角三角形，结合向量垂直的条件求出m，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（1）依题意，解得b2=5，…（2分）
所以椭圆的标准方程是．…（3分）
（2）由得5x2+8mx+4m2-20=0，…（4分）
∵直线l与椭圆有两个不同的交点，
∴△=（8m）2-20（4m2-20）=-16m2+400＞0…（6分）
解得-5＜m＜5．…（7分）
（3）假设存在实数m满足题意，
当MA⊥AB时，直线MA的方程为y-1=-（x-4），即y=-x+5．
由得x2-8x+16=0，解得．
故A（4，1），与点M重合，不合题意．
同理，当MB⊥AB时，也不合题意．…（9分）
当MA⊥MB时，设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由（2）得，，
y1+y2=x1+x2+2m，y1•y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2．…（10分）
∵，
∴…（11分）
=x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2-（y1+y2）+1
=2x1x2+（m-5）（x1+x2）+m2-2m+17
=
==m2+6m+9．…（13分）
又，
∴m2+6m+9=0，
解得m=-3∈（-5，5），
综上所述，存在实数m=-3使△ABM为直角三角形．…（14分）