Question

已知直线l过椭圆E：x²+2y²=2的右焦点F，且与E相交于P，Q两点．
（1）设（O为原点），求点R的轨迹方程；
（2）若直线l的倾斜角为60，求的值．

Answer

（1）可设直线l的方程为y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量关系式即可求得R的轨迹方程；
（2）设椭圆另一个焦点为F'，在△PF'F中由余弦定理m的值，同理，在△QF'F，设|QF|=n，也由余弦定理得n的值，最后即可求得的值．
【解析】
（1）设P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x，y）

由，易得右焦点F（1，0）
当直线l⊥x轴时，直线l的方程是：x=1，根据对称性可知R（1，0）
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=k（x-1）
代入E有（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0△=8k2+8＞0；（5分）
于是R（x，y）：x=； y=k（x-1）
消去参数k得x2+2y2-x=0而R（1，0）也适上式，故R的轨迹方程是x2+2y2-x=0
（2）设椭圆另一个焦点为F'，
在△PF'F中∠PFF'=120，|F'F|=2，设|PF|=m，则
由余弦定理得
同理，在△QF'F，设|QF|=n，则
也由余弦定理得
于是