Question

已知函数f（x）=-x²+2x．
（1）证明：f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）当x∈[-5，2]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer

（1）由已知函数的解析式f（x）=-x2+2x，我们易求出函数的导函数的解析式，并分析出当x∈[1，+∞）时，f′（x）≤0恒成立，进而得到f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）由已知函数的解析式f（x）=-x2+2x，我们易判断出函数图象的形状及函数的性质，进而根据二次函数在闭区间上的最值问题，即可求出当x∈[-5，2]时，求f（x）的最大值和最小值．
【解析】
（1）∵f（x）=-x2+2x．
∴f′（x）=-2x+2．
当x∈[1，+∞）时，
f′（x）≤0恒成立
∴f（x）在[1，+∞）上是减函数；
（2）∵函数f（x）=-x2+2x的图象是开口方向朝下，
以直线x=1为对称轴的抛物线
∴当x∈[-5，2]时，
f（x）的最大值和最小值分别为f（1）=1，f（-5）=-35