(Ⅰ)直接利用函数与导数的关系,求出函数的导数,再讨论函数的单调性;
(Ⅱ)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数.
【解析】
(Ⅰ),
令h(x)=ax2-x+1-a(x>0)
(1)当a=0时,h(x)=-x+1(x>0),
当x∈(0,1),h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞),h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
(2)当a≠0时,由f′(x)=0,即ax2-x+1-a=0,解得.
当时x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x)单调递减;
当时,,x∈(0,1)时h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
时,h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;
时,h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减.
当a<0时,当x∈(0,1),h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞),h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)单调递减,(1,+∞)单调递增;
当时x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)单调递减;
当时,函数f(x)在(0,1)单调递减,单调递增,单调递减.
(Ⅱ)当时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意x1∈(0,2),
有,
又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),所以,x2∈[1,2],(※)
又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2]
当b<1时,g(x)min=g(1)=5-2b>0与(※)矛盾;
当b∈[1,2]时,g(x)min=g(b)=4-b2≥0也与(※)矛盾;
当b>2时,.
综上,实数b的取值范围是.