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已知函数(a∈R). (Ⅰ)当时,讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)设g(x)=x2...

已知函数manfen5.com 满分网(a∈R).
(Ⅰ)当manfen5.com 满分网时,讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设g(x)=x2-2bx+4.当manfen5.com 满分网时,若对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求实数b取值范围.
(Ⅰ)直接利用函数与导数的关系,求出函数的导数,再讨论函数的单调性; (Ⅱ)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数. 【解析】 (Ⅰ), 令h(x)=ax2-x+1-a(x>0) (1)当a=0时,h(x)=-x+1(x>0), 当x∈(0,1),h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞),h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增. (2)当a≠0时,由f′(x)=0,即ax2-x+1-a=0,解得. 当时x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x)单调递减; 当时,,x∈(0,1)时h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 时,h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增; 时,h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减. 当a<0时,当x∈(0,1),h(x)>0,f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞),h(x)<0,f′(x)>0,函数f(x)单调递增. 综上所述:当a≤0时,函数f(x)在(0,1)单调递减,(1,+∞)单调递增; 当时x1=x2,h(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x)在(0,+∞)单调递减; 当时,函数f(x)在(0,1)单调递减,单调递增,单调递减. (Ⅱ)当时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意x1∈(0,2), 有, 又已知存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),所以,x2∈[1,2],(※) 又g(x)=(x-b)2+4-b2,x∈[1,2] 当b<1时,g(x)min=g(1)=5-2b>0与(※)矛盾; 当b∈[1,2]时,g(x)min=g(b)=4-b2≥0也与(※)矛盾; 当b>2时,. 综上,实数b的取值范围是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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