Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，DA⊥AB，AD=3，AB=4，，点E在线段AB的延长线上．若曲线段DE（含两端点）为某曲线L上的一部分，且曲线L上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
（1）建立恰当的直角坐标系，求曲线L的方程；
（2）根据曲线L的方程写出曲线段DE（含两端点）的方程；
（3）若点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点，试求|MC|+|MA|的最小值，并求出取得最小值时点M的坐标．

Answer

（1）由题意，先建立平面直角坐标系，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程；
（2）由题意知xD＜x＜xE，y≥0，而xD=xA=-2，xE=4，从而得出所求曲线段DE的方程，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程，要注意求解方程之后要有题意去排杂；
（3）由椭圆的定义及点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，则|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|即可求得|MC|+|MA|有最小值．
解（1）如图，以AB所在的直线为x轴，其垂直平分线为y轴，建立所示的直角坐标系，
则，|DA|=3，|DB|=5．
设动点M（x，y）为曲线L上的任一点，
则|MA|+|MB|=|DA|+|DB|=8，
即
整理得，为所求曲线L的方程
（2）由题意知xD＜x＜xE，y≥0，
而xD=xA=-2，xE=4
则所求曲线段DE的方程为
（3）由椭圆的定义及点M为曲线段DE（含两端点）上的任一点可知|MA|+|MB|=2a=8，即|MA|=8-|MB|，
则|MC|+|MA|=8+|MC|-|MB|，
当且仅当点M位于线段BC的交点处时等号成立，
由BC⊥AB知此时点M的横坐标为2，则其纵坐标为3，
即当点M的坐标为（2，3）时|MC|+|MA|有最小值．