Question

已知函数，且f（x）在x=1处取得极值．
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）由题意得f（x）在x=1处取得极值所以f′（1）=3-1+b=0所以b=-2．
（2）把原不等式等价转化为：在[-1，2]上恒成立，设g（x）=则g′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1），利用导数求函数的最大值即g（x）的最大值为g（2）=2，则有c2-c＞2，解得：c＞2或c＜-1．
【解析】
（1）由题意得f′（x）=3x2-x+b
∵f（x）在x=1处取得极值
∴f′（1）=3-1+b=0
∴b=-2
所以b的值是-2．
（2）由（1）得f′（x）=3x2-x-2
∵当x∈[-1，2]时，f（x）＜c2恒成立
∴在[-1，2]上恒成立，
即在[-1，2]上恒成立．
设g（x）=则g′（x）=3x2-x-2=（3x+2）（x-1）
当x∈（-1，-）时，g′（x）＞0
当x∈（-，1）时，g′（x）＜0
当x∈（1，2）时，g′（x）＞0
所以，当x=时，g（x）取得极大值为g（）=
又因为g（2）=2
所以在[-1，2]上g（x）的最大值为g（2）=2
则有c2-c＞2，解得：c＞2或c＜-1
故c的取值范围为（-∞，-1）∪（2，+∞）．